基于数学建模的压电传感器动态特性补偿方法

刘凌峰; LIU Lingfeng

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基于数学建模的压电传感器动态特性补偿方法

刘凌峰
机构：
上海飞机设计研究院,上海 201210
×

上海飞机设计研究院,上海 201210；

Dynamic characteristic compensation method of piezoelectric sensors based on theoretical modeling

LIU Lingfeng
Affiliation：
Shanghai Aircraft Design and Research Institute, Shanghai 201210 , China
×

Shanghai Aircraft Design and Research Institute, Shanghai 201210 , China；

作者简介:

刘凌峰,男,硕士,工程师。主要研究方向:民用飞机总体布置及仿真验证。E-mail:liulingfeng@comac.cc

通讯作者:

刘凌峰,E-mail:liulingfeng@comac.cc

中图分类号:TP212.1

文献标识码:A

DOI:10.19416/j.cnki.1674-9804.2023.02.012

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出版信息

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目录contents

摘要 Abstract
关键词 Keywords
0 引言
1 基于数学建模求解压电传感器动态特性
2 动态补偿原理
3 压电传感器动态补偿
4 工程应用需求说明
5 结论
参考文献

摘要

近年来,基于压电传感器和Lamb波的结构健康监测技术因其对小损伤敏感以及监测范围广等优点被广泛地研究并应用于飞行器上。由于材料特性以及其它复杂因素的影响,压电传感器采集的信号与原始信号并不能够完全一致,需要后续补偿处理。针对圆形压电传感器,从其工作机理出发,推导了其动态特性的理论公式,建立起传感器数学模型。利用MATLAB建立数学建模仿真得到传感器模型的动态特性曲线,并与实验获得的标定曲线进行了对比,验证了模型的合理性。为了改善压电传感器的动态特性,采用零极点配置法设计了动态补偿滤波器。结果表明,经过补偿的压电传感器的各方面动态指标较未补偿前有了很大的改善,响应速度得到了很大的提高,工作频带从315.9 kHz拓宽到609.1 kHz,说明经过补偿后的压电传感器可以应用到工程实践当中。

Abstract

In recent years, structural health monitoring technology based on piezoelectric sensor and lamb wave has been widely studied and applied to aircraft due to its advantages of sensitivity of small damage and wide monitoring range. Due to the influence of material properties and other complex factors, the signal acquired by piezoelectric sensor is not completely consistent with the original signal, which requires subsequent compensation processing. In this paper, the theoretical formula of dynamic characteristics is deduced from the working mechanism of circular piezoelectric sensor, and the mathematical model of sensor is established. The dynamic characteristic curve of the sensor model obtained by mathematical modeling is simulated by MATLAB, and is compared with the calibration curve obtained by the experiment so that to verify the validity of the model. In order to improve the dynamic characteristics of piezoelectric sensors, the dynamic compensation filter is designed by zero pole arrangement method. The result shows that the dynamic performance of the compensated piezoelectric sensor is greatly improved compared to original sensor, and the response speed is greatly improved. Also, the working frequency band is extended from 315.9 kHz to 609.1 kHz. It can be shown that the compensated piezoelectric sensor can be applied to engineering practice.

关键词

飞行器；结构健康监测；压电传感器；数学建模；动态特性；补偿

Keywords

aircraft ； structural health monitoring ； piezoelectric sensor ； mathematical modeling ； dynamic characteristics ； compensation

0 引言
近年来，结构健康监测技术被广泛地应用于民用飞机的设计以及安全运营领域^[1-2]。其中，基于压电传感器和Lamb波的结构健康监测技术凭借Lamb波可传播距离较远并且对小损伤具有敏感性的特点，被认为是一种非常值得研究的结构健康监测技术^[3-4]。在此技术中，为了能够准确的判别损伤的位置，希望传感器采集的信号能够是原信号的真实还原，即没有发生失真。但是，实际制作的压电传感器，由于材料特性，以及其它复杂因素的影响就会使得传感器的动态特性呈现非线性，使得不同频率的信号被放大或缩小的程度不一致，从而导致传感器的输出信号或多或少的失真，甚至完全不可用，所以需要一种方法去改善传感器的动态响应特性。一般可以从两个方面考虑:一是将传感器的结构设计指标进行改变; 二是将传感器采集的信号进行后续分析处理，设计与之匹配的动态补偿器^[5]。匹配动态补偿器的方法因具有灵活性、调控性且实现容易等优点被广泛研究^[6]。
一般的动态补偿原理主要分两个步骤:第一是利用系统辨识法将动态标定实验中采集的传感器输入输出信号转换成传感器数学模型; 第二步，构造后处理动态补偿器，将其串联在获得的传感器数学模型上，使得补偿后系统总的动态特性达到预期的要求^[6]。杨文杰等^[7]应用白化滤波器的广义最小二乘法创建了压力传感器动态特性数学模型; 刘一江等^[8]应用模糊神经网络算法，创建了激波管激励传感器动态特性数学模型; 毛丽民等^[9]应用高斯-牛顿方法创建了压力传感器动态特性的数学模型; 孙海波等^[10]采用基于沃尔什函数的最小二乘法建立了传感器的数学模型等。上述学者均通过动态标定实验，采用不同的辨识方法建立了传感器的数学模型。采用这种标定实验的辨识方法会引入两方面的误差，一方面是动态标定实验采集的信号数据不能保证是完全未失真的原始信号，另一方面系统辨识法本身是一种逼近方法，采用此方法创建的传感器数学模型与真实的传感器模型存在误差。
本文针对结构健康监测中使用的压电传感器，从其工作机理出发，推导了传感器动态特性的理论公式，得到传感器的数学模型。根据得到的理论公式，利用MATLAB绘制出了动态响应曲线，并与实验获得的动态特性曲线进行了比较，验证了理论公式得到的压电传感器数学模型的合理性。接着采用零极点补偿法设计了动态补偿滤波器，改善和扩展了传感器本身的动态特性。然后通过采用阶跃信号作为激励，比较了补偿前传感器的响应与增加了补偿环节后传感器的响应进行有效性的验证。压电传感器动态特性补偿的流程如图1所示。
图1 压电传感器动态特性补偿流程示意图
1 基于数学建模求解压电传感器动态特性
如图2所示，一个直径为2a，厚度t_a的压电传感器。电场由上下表面电极施加的谐波电压 $V （ t ） = \hat{V} e^{i ω t}$ 产生，如图3所示。假设电场是均匀的，这样可以假设成轴对称的，意味着关于θ的微分为零， $\partial （） / \partial θ = 0$ ，以及周向位移为零，u_θ=0，所以只有位移u_r。
图2 圆形压电传感器
图3 电压激励下的圆形压电传感器原理图
根据极坐标下的压电本构方程:

\begin{matrix} S_{r r} = s_{r r}^{E} T_{r r} + s_{r θ}^{E} T_{θ θ} + d_{3 r} E_{3} \\ S_{θ θ} = s_{r θ}^{E} T_{r r} + s_{θ θ}^{E} T_{θ θ} + d_{3 θ} E_{3} \\ D_{z} = d_{3 r} T_{r r} + d_{3 θ} T_{θ θ} + ε_{33}^{T} E_{3} \end{matrix}

(1)

因为压电传感器假设面内各向同性，用 $s_{11}^{E}$ ， $s_{11}^{E}$ ， $- ν s_{11}^{E}$ 代替 $s_{r r}^{E}$ ， $s_{θ θ}^{E}$ ， $s_{r θ}^{E}$ ，d₃₁代替d₃_r，d₃_θ得:

\begin{matrix} S_{r r} = s_{11}^{E} T_{r r} - ν s_{11}^{E} T_{θ θ} + d_{31} E_{3} \\ S_{θ θ} = - ν s_{11}^{E} T_{r r} + s_{11}^{E} T_{θ θ} + d_{31} E_{3} \\ D_{z} = d_{31} T_{r r} + d_{31} T_{θ θ} + ε_{33}^{T} E_{3} \end{matrix}

(2)

其中，S表示应变，T表示施加在传感器上的应力， $s_{11}^{E}$ 表示零电场下的机械柔度，d₃₁表示压电常数， $ε_{33}^{T}$ 表示零应力下的介电常数，D表示电位移，ν是泊松比，如下定义 $ν = - s_{12}^{E} / s_{11}^{E}$ 。
式（2）中的第三行可以积分得到电荷和电流。用电场强度表示得:

D_{3} = d_{31} \frac{1}{s_{11}^{E} (1 - ν)} [\frac{1}{r} \frac{d}{d r} (r u_{r}) - 2 d_{31} E_{3}] + ε_{33}^{T} E_{3}

(3)

利用平面机电耦合系数k_p，定义有:

k_{p}^{2} = \frac{2 d_{31}^{2}}{s_{11}^{E} ε_{33}^{T} (1 - ν)}

(4)

最后化简得到:

Q = C V [1 - k_{p}^{2} (1 - \frac{u_{r} (a)}{u_{I S A}})]

(5)

其中，C为电容，为:

C = ε_{33}^{T} \frac{A}{t_{a}}, A = π a^{2}

(6)

电流是电荷的时间导数，与谐波时间相关，有:

I = \dot{Q} = i ω Q

(7)

传感器的频率特性Z是电压和电流幅值之比:

Z = \frac{V}{I}

(8)

所以最终压电传感器的频率响应函数有:

Z = \frac{1}{i ω C} {[1 - k_{p}^{2} (1 - \frac{(1 + ν) J_{1} (z)}{(z) J_{0} (z) - (1 - ν) J_{1} (z)})]}^{- 1}

(9)

其中，J₀（z）为0阶J型贝塞尔函数; J₁（z）为1阶J型贝塞尔函数; $γ = \frac{ω}{c_{p}}$ ，为波数; c_p为在平面面中传播的振动波速度， $c_{p} = \sqrt{\frac{1}{ρ s_{11}^{E} (1 - ν^{2})}}$ ，ρ为传感器的密度。
对上述数学建模得到的压电传感器的频率响应函数，利用MATLAB进行理论计算，获得幅频响应曲线图，然后与实验获得的幅频曲线图进行比较，验证数学建模的正确性。
表1给出了海鹰牌PSN-33型号压电传感器的参数。
表1 海鹰牌PSN-33型号压电传感器参数
图4给出了海鹰牌PSN-33型号压电传感器动态标定实验获得的频率响应和MATLAB理论计算的频率响应的叠加图。可以清晰看到三个响应峰，实验得到的相应频率（315.9 kHz、706.8 kHz、1 094 kHz）对应前三个面内径向模态。
表2给出了由MATLAB理论计算的频率响应与动态标定实验进行的比较。与理论计算相比，在第一阶频率处误差较大超过了3%，另外两阶频率误差均小于2%，尤其是第三阶频率误差最小只有0.64%。
图4 压电传感器理论计算和动态标定实验归一化谱
表2 海鹰牌PSN-33型号压电传感器对比结果
对于圆形海鹰牌PSN-33型号压电传感器，MATLAB计算的结果和实验的结果有着很好的一致性，从而验证了数学建模是合理的。
2 动态补偿原理
动态补偿原理一般是构造后处理动态补偿器，将其串联在获得的传感器数学模型上，使得补偿后系统总的动态特性达到预期的要求^[6，11]。如图5所示，对于系统传递函数S（jω），若存在补偿器 G（jω），使得在有效带宽ω₀内，S（jω）G（jω）为稳定系统，且S（jω）G（jω）=1，0≤ω≤ω₀，那么G（jω）即为系统S（jω）的匹配补偿器。
图5 动态补偿网络原理图
传递函数的极点决定其动态特性，通过分析零极点，考察其对传感器动态性能影响，串接补偿环节，消去不符合要求的极点，使传感器动态特性得以改善^[7]。
一个线性时不变系统传感器的连续传递函数可以表示为:

\begin{matrix} G (s) = \frac{B (s)}{A (s)} = \frac{b_{0} + b_{1} s^{- 1} + b_{2} s^{- 2} + \dots + b_{m} s^{- m}}{a_{0} + a_{1} s^{- 1} + a_{2} s^{- 2} + \dots + a_{n} s^{- n}}, \\ = \frac{b_{0} \prod_{i = 1}^{m} (s - λ_{i})}{\prod_{i = 1}^{n} (s - p_{i})}, m ⩽ n, a_{0} = 1 \end{matrix}

(10)

其中，λ_i是系统的零点，p_i是系统的极点。
假设上述系统有q个实极点、m对共轭复数极点，模型阶数为n，则2m+q=n。传递函数乘以阶跃信号的拉普拉斯变换，再由留数定理对乘积进行反拉普拉斯变换，可求得传感器系统单位阶跃响应，即:

\begin{matrix} y (k) = \frac{B (1)}{A (1)} + \sum_{r = 1}^{q} \frac{B (p_{r}) {(p_{r})}^{r}}{(p_{r} - 1) \dot{A} (p_{r})} \\ + \sum_{c = 1}^{m} 2 |\frac{B (p_{c})}{(p_{c} - 1) \dot{A} (p_{c})}| {|p_{r}|}^{r} c o s (k θ_{c} + φ_{c}) \\ = \frac{B (1)}{A (1)} + \sum_{r = 1}^{q} Q_{r} {(p_{r})}^{r} \\ + \sum_{c = 1}^{m} Q_{c} {|p_{r}|}^{r} c o s (k θ_{c} + φ_{c}) \end{matrix}

(11)

其中，p_r是实极点; p_c=α_c+jβ_c为复数极点; $\dot{A} (p_{i}) = {\frac{d A （ s ）}{d s}|}_{s = p_{i}}$ ; $\frac{B （ 1 ）}{A （ 1 ）}$ 为最终的稳态值; $Q_{c}$ $= {t a n}^{- 1} (\frac{β_{c}}{α_{c}}); φ_{c} = ∠ B (p_{c}) - ∠ (p_{c} - 1) - \dot{A} (p_{c});$ Q_r，Q_c为加权因子，可决定相应子系统对阶跃过渡过程影响，即:

\{\begin{matrix} Q_{r} = \frac{B (p_{r})}{(p_{r} - 1) \dot{A} (p_{r})} = \frac{b_{0}^{'} \prod_{i = 1}^{n} (z - λ_{i})}{(p_{r} - 1) \prod_{i = 1}^{n} (z - p_{i})} (s - p_{r}) \\ Q_{c} = 2 |\frac{B (p_{c})}{(p_{c} - 1) \dot{A} (p_{c})}| = 2 ∣ \frac{b_{0}^{'} \prod_{i = 1}^{n} (z - λ_{i})}{(p_{c} - 1) \prod_{i = 1}^{n} (z - p_{i})} (s - p_{c}) \end{matrix}

(12)

当不满足动态测量要求的极点p_i为正实数时，所对应的子系统为一阶系统，其相应的动态补偿滤波器为 $G_{c} （ z ） = b_{0} \frac{s - p_{i}}{s - p_{i c}}$ ，其中， $b_{0} = |\frac{1 - p_{i c}}{1 - p_{i}}|$ 。当p_i为复数时，对应的子系统为二阶系统时，相对应的动态补偿滤波器为: $G_{c} （ z ） = b_{0} \frac{(s - p_{i}) (s - p_{i}^{*})}{(s - p_{i c}) (s - p_{i c}^{*})}$ ，其中， $b_{0} = |\frac{(1 - p_{i}) (1 - p_{i}^{*})}{(1 - p_{i c}) (1 - p_{i c}^{*})}|$ ，p_ic不仅要满足p_ic≤r₀，还应该使它所对应的二阶子系统的阻尼系数ξ满足0.5≤ξ≤0.8，因此，p_ic， $p_{i c}^{*}$ 的值由式（13）决定:

p_{i c}, p_{i c}^{*} = e^{- 3 T / t_{r}} [c o s (\frac{3 T}{ξ t_{r}} \sqrt{1 - ξ^{2}}) \pm i s i n (\frac{3 T}{ξ t_{r}} \sqrt{1 - ξ^{2}})]

(13)

其中，T为采样间隔，t_r为期望的响应时间。
根据第1章的数学建模得到的传感器动态特性传递函数Z，将其表示成有理多项式的形式如式（14）:

Z (s) = \frac{b_{0} + b_{1} s^{- 1} + b_{2} s^{- 2} + b_{3} s^{- 3} + b_{4} s^{- 4}}{a_{0} + a_{1} s^{- 1} + a_{2} s^{- 2} + a_{3} s^{- 3} + a_{4} s^{- 4}}

(14)

其分子分母系数见表3。
表3 连续传递函数各参数
利用数学建模得到的压电传感器模型，得到激励信号为阶跃函数的阶跃响应，如图6所示。
图6 基于数学建模的压电传感器阶跃响应
3 压电传感器动态补偿
对于传感器，其主要的动态特性指标是工作频带ω_b（对数幅频曲线上±3 dB所对应的频率）^[11]。此外上升时间t_r，响应时间t_s和超调量σ_p都是表征传感器动态特性不可或缺的指标^[12]。在基于压电传感器和Lamb波的结构健康监测中，传感器所监测的信号频率一般在500 kHz以内。图7给出了基于数学建模得到的压电传感器100 Hz至1 MHz的幅频特性曲线。
分析图6和图7可以得出压电传感器各项动态性能参数，如表4所示。
表4 压电传感器动态性能参数
从表4可以看出，压电传感器的各项动态指标都有点超过工程实际的要求，所以对压电传感器进行动态补偿非常重要。
图7 压电传感器幅频特性曲线
根据第2章讲述的零极点配置法原理，先求出压电传感器系统的零极点，加权因子Q_i以及无因次响应时间T_si^[13-15]，如表5所示。
表5 压电传感器模型极点分析
从表5中可以看出，极点p₁，p₂对应的无因次响应时间长，而且加权因子也比另外一对极点的大，所以极点p₁，p₂是传感器模型的主导极点，传感器的动态特性主要由极点p₁，p₂决定，在时域响应上起着重要作用。
根据上一节的补偿原理，在配置零极点时，本文取T=1 μs，t_r=5 μs，ξ=0.55。由式（13）可计算出配置极点p_c₁，p_c₂，为了加快响应时间，取附加极点 $p_{c_{3，4}} = 0.1 \pm j 0.1$ 。
则动态补偿数字滤波器的连续传递函数为:

\begin{matrix} Z_{c} (s) = \frac{b_{c_{0}} (s - λ_{1}) (s - λ_{2}) (s - λ_{3}) (s - λ_{4})}{(s - p_{c_{1}}) (s - p_{c_{2}}) (s - p_{c_{3}}) (s - p_{c_{4}})} \\ b_{c_{0}} = |\frac{(1 - p_{c_{1}}) (1 - p_{c_{2}}) (1 - p_{c_{3}}) (1 - p_{c_{4}})}{(1 - λ_{1}) (1 - λ_{2}) (1 - λ_{3}) (1 - λ_{4})}| \end{matrix}

(15)

给附加极点 $p_{c_{3，4}}$ 配置一对与之相近的零点^[4]， $λ_{c_{3，4}} = 0.1 \pm 0.1381 j$ 。将补偿的传感器模型与原传感器模型级联在一起得到传感器数学模型，具体参数见表6。

H (s) = Z (s) Z_{c} (s) = \frac{b_{0}^{'} + b_{1}^{'} s^{- 1} + b_{2}^{'} s^{- 2} + b_{3}^{'} s^{- 3} + b_{4}^{'} s^{- 4}}{a_{0}^{'} + a_{1}^{'} s^{- 1} + a_{2}^{'} s^{- 2} + a_{3}^{'} s^{- 3} + a_{4}^{'} s^{- 4}}

(16)

表6 补偿后压电传感器的连续传递函数参数
根据补偿后的压电传感器传递函数，得到了如图8所示的幅频特性曲线。可以看出，经过动态补偿后传感器的动态特性得到了很大改善，工作频带相较于未补偿前拓宽了许多。
图8 补偿前后压电传感器的动态特性曲线
为了验证补偿的有效性，采用单位阶跃信号作为激励信号，得到了如图9所示的阶跃响应信号。
图9 补偿前后压电传感器的阶跃响应
可以看出，与补偿前相比较，阶跃响应信号的超调量大大降低，上升时间也缩短很多，达到稳态的时间也比未补偿前快了很多，具体参数见表7。
表7 补偿后压电传感器动态性能参数
通过比较表4和表7，可以得到，补偿后压电传感器的动态特性指标得到了很好的改善，工作频带被拓宽到609.1 kHz，超调量与原系统相比减少了64.3%，除此之外，上升时间，特别是响应时间都很大程度上的缩短。
4 工程应用需求说明
以飞机机翼结构应用结构健康监测方法诊断损伤为例进行工程应用说明。如图10所示，一个圆形压电传感器用于产生Lamb波激励信号，一个圆形压电传感器采集传播后的飞机机翼结构的健康状态信号。此时响应传感器获取的信号由于传感器本身频响特性的影响，会不同程度的失真，需要进行信号后处理，使得获取的信号尽可能地为真实传播后的信号，才能用于后续的损伤诊断。
图10 基于压电传感器的结构健康监测示例
利用MATLAB等数据后处理软件根据之前章节的方法构造匹配补偿滤波器。接着，将获取的信号经过补偿滤波器进行二次处理，得到传播后的真实信号。最后采用相应的损伤监测算法即可判断机翼结构是否存在损伤，为维修人员的维护保障提供依据。
5 结论
本文针对圆形压电传感器，从其工作机理出发，推导了动态特性的理论公式，然后针对海鹰牌PSN-33型号压电传感器，利用MATLAB仿真绘出了数学建模得到的动态特性曲线，并和动态标定实验获得的曲线进行了比较，验证了理论公式的精确性。接着采用零极点配置法设计了动态补偿滤波器，并采用单位阶跃信号作为激励信号，得到了未补偿和补偿后的传感器阶跃响应。可以发现，经过补偿后的压电传感器，各方面动态指标均得到了很大的改善，从而验证了数学建模得到压电传感器数学模型补偿的有效性。可以说明，经过补偿后的压电传感器可以应用到工程实践当中。
参考文献
- [1] 张卫方,何晶靖,阳劲松,等.面向飞行器结构的健康监控技术研究现状[J].航空制造技术,2017(19):38-47.
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基本信息

中图分类号: TP212.1
文献标识码: A
DOI: 10.19416/j.cnki.1674-9804.2023.02.012

基金信息

引用信息

刘凌峰.基于数学建模的压电传感器动态特性补偿方法[J].民用飞机设计与研究,2023(2):70-76.

LIU L F.Dynamic characteristic compensation method of piezoelectric sensors based on theoretical modeling[J].Civil Aircraft Design and Research,2023(2):70-76(in Chinese).

稿件历史

参考文献

[1] 张卫方,何晶靖,阳劲松,等.面向飞行器结构的健康监控技术研究现状[J].航空制造技术,2017(19):38-47.
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基于数学建模的压电传感器动态特性补偿方法

Dynamic characteristic compensation method of piezoelectric sensors based on theoretical modeling

摘要

Abstract

关键词

Keywords

0 引言

1 基于数学建模求解压电传感器动态特性

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

2 动态补偿原理

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

3 压电传感器动态补偿

(15)

(16)

4 工程应用需求说明

5 结论

参考文献

基本信息

基金信息

引用信息

稿件历史

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