0 引言

滚动轴承(滚珠轴承和滚子轴承)作为核心部件用于各种旋转类机械当中。目前,滚动轴承已经标准化、系列化和专业化。滚动轴承的常规设计就是可靠性设计,按照标准规定的方法进行特定可靠度的额定寿命或更高可靠度的修正寿命计算或校核,是滚动轴承设计中的必经步骤^[1]。滚动轴承可靠寿命的计算分析方法成熟,在机械或轴承设计手册等资料中有详细的方法及计算参数,能够支持旋转类机械设备的寿命设计。滚动轴承在工程中一般作为不可修产品,滚动轴承的平均故障前时间(Mean Time to Failure,简称MTTF)和失效率是其所配套机械设备可靠性预计的基础数据。目前,滚动轴承的失效率数据主要来源于可获得的统计数据信息(如:NPRD-95《非电子零件可靠性数据》^[2]),或利用滚动轴承的失效率模型^[3-4]计算得到,考虑载荷、润滑、使用环境、装配误差等因素修正得到工作失效率,滚动轴承失效率模型属于相似产品法,其准确性依赖于所统计基准产品可靠性数据信息的准确度,以及数据修正的合理性。当目标产品和基准产品的相似程度低,基于可靠性影响因素对比分析的数据修正不合理时,利用滚动轴承的统计失效率数据或失效率模型所得失效率的误差大。目前工程中使用的滚动轴承失效率数据和失效率模型,没有充分利用滚动轴承的可靠寿命信息和威布尔(Weibull)分布的特征信息。本文利用滚动轴承寿命与可靠度的关系,以及Weibull分布的特征信息,研究给出了一种滚动轴承平均故障前时间和平均失效率的计算方法,可为机械设备可靠性预计提供数据支持。

1 滚动轴承的寿命与可靠度

1.1 滚动轴承寿命与可靠度的关系

已有数据表明,滚动轴承的疲劳寿命t服从Weibull分布,分布函数如式(1)所示:

式中,t为滚动轴承的寿命;θ为尺度参数;β为形状参数。

由R(t)=1-F(t),可得与t对应的可靠度为:

式(2)可改写为:

当R(t)=0.90,即失效率为10%时,将轴承的寿命记为L ₁₀,由公式(3)可得:

由式(3)除以式(4),整理可得:

式中,t_R表示可靠度R(t)时的寿命。不同轴承的形状参数有所不同:球轴承β=10/9;滚子轴承β=3/2;圆锥滚子轴承β=4/3^[5]。形状参数β也可取利用滚动轴承寿命试验或使用数据得到的估计值,或轴承手册等资料给出的经验数值。

为了考虑不同可靠度对轴承寿命的影响和便于计算,将式(5)简化为:

式中,α为滚动轴承寿命可靠性系数。

工程实际上遇到的问题,通常是根据所需寿命确定其所对应的额定寿命L ₁₀,然后再选用合适的轴承。再从轴承手册或目录中选择其额定寿命值大于由公式(6)式确定的L ₁₀值即可。由式(6)可得:

1.2 滚动轴承疲劳寿命

在一般条件下,正常工作的轴承的主要失效模式为疲劳点蚀。因此,疲劳寿命是滚动轴承的重要参数^[6]。同时,滚动轴承的疲劳寿命和其动载荷相互关联,其之间的关系为^[7]:

式中,L ₁₀表示可靠度为90%的基本额定寿命(10⁶r);C为滚动轴承的基本额定动载荷(N);

P为滚动轴承承受的当量动载荷(N);ε为疲劳寿命指数,对球轴承:ε=3,对滚子轴承:ε=10/3。

对于转速恒定的滚动轴承,可用工作小时数来表示:

式中,L _10h表示可靠度为90%的基本额定寿命(h);n为轴承内、外圈的相对转速(r/min);考虑各种因素影响,对公式(9)进行修正可得:

式中,L_S表示可靠度为(100-S)%的修正基本额定寿命(10⁶r);α₁为寿命可靠性系数,可用公式(7)计算得到;α₂为材料系数;α₂=1表示普通冶炼的轴承钢;α₂=3表示真空脱气轴承钢;α₂=5表示真空熔炼轴承钢;α₃为使用条件系数,或称润滑状态系数,一般工作条件取α₃=1,也可按照滚动轴承手册的数据取值。

2 Weibull分布

2.1 Weibull分布的概率函数

Weibull分布是根据薄弱环节思想提出的一种分布形式,并通过改变形状参数描述不同的失效类型^[8]。Weibull分布可分为三参数和两参数两种形式。三参数Weibull分布的概率密度函数为:

可记为,t~W(β, θ, γ),t≥γ,β＞0,θ＞0。其中,β、θ、γ分别为形状参数、尺度参数、位置参数,取值范围为(0, $\mathrm{\infty }$)。参数θ也称为特征寿命,单位为时间。三参数Weibull分布的分布函数为:

而两参数Weibull分布则是位置参数γ=0时的特殊情况,记为t~W (β, θ)。其概率密度函数为:

$f\left(t\right)=\frac{\beta }{\theta }{\left(\frac{t}{\theta }\right)}^{\beta -1}{e}^{-(t/\theta )\beta }$

两参数Weibull分布的分布函数为:

两参数Weibull分布的可靠度函数为:

三参数Weibull分布的瞬时失效率函数为:

两参数Weibull分布的瞬时失效率函数为:

对于服从三参数Weibull分布,工作到时间T的产品,在区间[0,T]的平均故障率计算公式的推导如下:

$\stackrel{-}{\lambda }\left(T\right)=\frac{1}{T}{\int }_0^T\lambda \left(t\right)dt$

$\begin{array}{c}=\frac{1}{T}{\int }_0^{\gamma }0dt+\frac{1}{T}{\int }_{\gamma }^T\frac{\beta }{\theta }{\left(\frac{t-\gamma }{\theta }\right)}^{\beta -1}dt\\ ={\left.\frac{1}{T}\frac{\beta }{{\theta }^{\beta }}\frac{1}{\beta }(t-\gamma {)}^{\beta }\right|}_{\gamma }^T\end{array}$

可得三参数Weibull分布在区间[0,T]的平均故障率:

取γ=0,可得两参数Weibull分布在区间[0,T]的平均故障率:

式(19)与文献^[9]《航空发动机主轴轴承可靠性评估方法》中的Weibull分布的平均故障率计算公式一致。

MTTF测量方法为:在规定的条件和期间内,产品寿命单位总数与故障产品总数之比^[10]。对于连续型概率分布,MTTF的计算公式如下:

$MTTF={\int }_0^{\mathrm{\infty }}tf\left(t\right)dt$

将式(12)带入上式,可得:

令:

$y={\left(\frac{t-\gamma }{\theta }\right)}^{\beta }$

于是:

$dy=\frac{\beta }{\theta }{\left(\frac{t-\gamma }{\theta }\right)}^{\beta -1}dt$

带入式(20)得到:

$MTTF={\int }_0^{\mathrm{\infty }}t{e}^{-y}dy$

由$t=\gamma +\theta y^{1/\beta }$,可以得到:

式(21)中,Γ(x)为伽玛方程:

$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{y}^{x-1}{e}^{-y}dy$

可在伽马函数表中查询Γ(x)的值,对于超出伽马函数表范围的数据,可通过式(22)计算得到:

如果为整数,则Γ(x)=(x-1)。当公式(21)中的γ=0时,可得两参数Weibull分布MTTF的计算公式如下^[11]:

需要强调的是:本节给出的平均故障率$\stackrel{-}{\lambda }\left(T\right)$计算公式所对应的时间区间是[0,T],MTTF计算公式对应的时间区间是[0,∞]。

3 滚动轴承MTTF和$\stackrel{-}{\lambda }\left(T\right)$计算方法

滚动轴承的MTTF和$\stackrel{-}{\lambda }\left(t\right)$是旋转类机械设备可靠性预计中重要基础数据。利用传统的滚动轴承疲劳寿命计算方法,基于滚动轴承寿命与可靠度的关系,结合Weibull分布的MTTF和$\stackrel{-}{\lambda }\left(t\right)$的计算公式推导,研究提出一种滚动轴承MTTF和$\stackrel{-}{\lambda }\left(t\right)$的计算方法,具体计算方法的流程如图1所示。

4 计算示例

本文以文献^[12]所做实验作为依照进行验证,选择一个6204系列的单列深沟球轴承,要求在工作转速n=10 000r/min,径向载荷2 499N的工作条件下,计算所选轴承的MTTF、在工作寿命20 000h内的平均失效率以及工作1 000h时的可靠度。

利用公式(10),计算可得6204球轴承可靠度为90%时的使用工作寿命为:

$L_{10h}=\frac{{10}^6}{60\times 10000}{\left(\frac{9800}{2499}\right)}^3=100.5\mathrm{h}$

使用公式(11)进行修正得修正工作寿命为:

$L_S={\alpha }_1\cdot {\alpha }_2\cdot {\alpha }_3\cdot L_{10h}=100.5\mathrm{h}$

其中α₁、α₂、α₃取基本值1。

此结果与文献^[12]所测得的650h相距甚远,而α₁是理论值,所以在90%的可靠度下取值一定是1,α₃的取值在润滑良好无冲击的情况下取值也为1,这两个参数都不宜改动,只有α₂的取值由于文献^[12]中未提及具体材料,浮动范围较大。遵循以实验为准的原则,以不同动载荷下的工作寿命作为原始数据,如表1所示,使用非线性最小二乘法对α₂进行拟合,求得α₂拟合值为6.58,使得L_S为661.38h,更接近于实验值。

由于文献^[12]中也给出了6204轴承在额定动载荷下的形状参数,所以选β的取值为1.236 8,利用公式:

$\theta =L_S/[-\mathrm{l}\mathrm{n}R(t){]}^{\frac{1}{\beta }}$

带入L_S=661.38h,计算可得:θ=4079.96h。利用公式(19)和(23)计算可得:

$\begin{array}{c}\stackrel{-}{\lambda }\left(20000\right)=\frac{1}{{4079.96}^{1.2368}}\times {20000}^{(1.2368-1)}\\ =3.57\times {10}^{-4}/h\\ MTTF=\theta \Gamma \left(1+\frac{1}{\beta }\right)=4079.96\times \Gamma \left(1.8085\right)\\ =4079.96\times 0.9337=3809.4h\end{array}$

利用公式(15)计算可得:

$R\left(1000\right)=0.8389$

文献^[12]实验所测实际MTTF为3 743h,和本文计算相差66.4h,差异较小,本文的计算方法有一定指导意义。但若β取手册值10/9,则会使得MTTF为4 820.7h,与实际值相差28.8%;而完全采用手册上的基本参数,α₂取1,β取10/9,则会导致最终求得的MTTF为732.63h。造成此巨大差异的原因可能是L_S的计算和形状参数β的选用采取的是早期的经典方法,而随着加工方法和材料的进步,经典方法也有着许多可改进的空间 ^[13],但在参数正确的情况下,寿命的大体趋势判断上依然是合理的。

本文提供了一种便捷且在缺少滚动轴承工作寿命实验数据时其平均故障前时间的计算方法,可为滚动轴承的设计选型提供参考依据和支持数据。工程实际中,滚动轴承型号的选定应优先依据实验数据,当缺少实验数据时应按照滚动轴承的工作条件和计算分析数据等信息选择其型号。

5 结论

1)本文研究提出了滚动轴承MTTF和平均失效率$\stackrel{-}{\lambda }\left(t\right)$的计算方法,解决了利用关键设计参数(工作寿命、可靠度、动载荷等)计算滚动轴承MTTF和$\stackrel{-}{\lambda }\left(t\right)$的问题,可为滚动轴承及其配套产品的可靠性预计、分析提供数据和方法;

2)本文所提方法计算的是滚动轴承主要失效模式疲劳的MTTF和$\stackrel{-}{\lambda }\left(t\right)$,可利用同类产品或相似工作条件下滚中轴承失效模式比例的统计数据、以及工程经验信息,合理修正以期得到更准确的滚动轴承MTTF和$\stackrel{-}{\lambda }\left(t\right)$数据;

3)本文所提滚动轴承MTTF和$\stackrel{-}{\lambda }\left(t\right)$计算方法,后续还需收集、分析滚动轴承寿命试验和使用数据等信息,研究滚动轴承Weibull分布形状参数β的参考依据和确定方法。

参考文献